失業保険について、お聞きします。また、保険料控除をしていない場合の遡及は、ハローワークへ手続きをした日から2年前の日までとなります。

失業保険について、お聞きします。
例えば、今年７月一杯で会社（業種問わず。約５年勤務）を自己退職した場合と、
契約期間終了により退職した場合の失業保険の給付は何時からになりますか？

保険の金額は、一切関係無いものとします。

自己都合退職の場合は受給手続きをしてから待機期間（７日間）＋３ヶ月の給付制限期間終了後からが支給対象期間になり、最初の給付金が振込まれるのは、手続き後３ヶ月半～４ヶ月後です。

契約期間終了で雇用主が契約の継続をしない場合は、解雇等の会社都合による離職になるので、受給手続き後待機期間（７日間）終了後から支給対象期間になり、手続き後、約１ヶ月後に最初の給付金が振込になります。

失業保険について
３ヶ月程前までは、平均的に残業もあり、給与を２０万前後頂いておりましたが、不況の影響もありまして、
残業が減り今は１２～１３万程しか頂けなくなってまして、非常に生活が苦しいです。
こういう場合の退職は、やはり自己都合になってしまい失業保険は４ヶ月後からになってしまうのでしょうか？

雇用保険の特定受給資格者の範囲に
「(4) 賃金が、当該労働者に支払われていた賃金に比べて85％未満に低下した（又は低下することとなった）ため離職した者（当該労働者が低下の事実について予見し得なかった場合に限る。）」

とありますが、貴方がこれを証明できれば特定受給資格者になれますから、解雇等の会社都合になり
受給手続きから約４週間後の振り込みになります

失業保険が給付されるのは、雇用保険の加入期間は一箇所の職場で12ヶ月以上ではなく、短期限定の仕事でも加入していれば合計で12ヶ月以上あればいいのでしょうか？

短期間の合計でもいいですが、自己都合なら1２ヶ月、会社都合なら６ヶ月以上ですね。ただし、１ヶ月でも１１日以上勤務していない月があれば計算から外れますよ。

雇用保険を遡って自分で申請し全額自己負担で支払う事は出来るでしょうか？

正社員で9ヶ月間働いた会社を昨年の7月に自己都合で退職しました。

雇用保険を払った期間が1年に満たなかったので失業保険を受給できませんでした。

ですが正社員になる前に同じ会社でパートで1年半働いていました。
その時は週24時間働き、6ヶ月以上雇用するという契約書も頂いております。
という事はパートの期間も雇用保険の対象になるのでしょうか？

もし対象になるのなら遡って雇用保険を支払い失業保険を受給したいです。
でも遡って支払う申請をすれば会社に迷惑が掛かるでしょうし、会社の方からきっと責められるので、全額自己負担で支払いたいのです。

過去の事を持ち出す自分が情けないです。
沢山働くてはいけないのにお恥ずかしながら未だ失業中で体も壊し生活は苦しく、なりふり構っていられない状態です。

それでもなるべく会社に迷惑を掛けたくないので雇用保険を遡って自分で申請し全額自己負担で支払う事が可能か教えて下さい。

長文乱文失礼いたしました。
解答をお待ちしております。

ご自身での遡及申請や保険料支払はできません。会社が行わなくてはなりません。
また、遡及となりますと、ご質問者さんが会社へ保険料を全額負担し、会社が雇用保険加入日訂正届…だけでは会社は済みません。
正規雇用前のパート期間を遡及するにあたり、会社全体の労働保険Ｈ２０年度分、Ｈ２１年度分確定申告の訂正がかかります。それをしなければ、会社としてのご質問者さん分の雇用保険料の計算、納付ができないからです。

また、保険料控除をしていない場合の遡及は、ハローワークへ手続きをした日から2年前の日までとなります。